Год начинается в понедельник
О распределении дня недели первого дня года
2018-02-27 12:02:22
2018 год начался в понедельник. 2017 - в воскресенье, 2016 - в пятницу. Кажется очевидным, что вероятность выпадения первого дня на понедельник или на вторник, или еще на какой-либо день недели одинакова и равна 1/7. Однако, я не мог избавиться от чувства, что это может быть не так.

29 февраля.

Обозначим день недели первого дня года A символом \(y(A)\) (число от 0 до 6). Сдвигом года A назовем число $$\Big(7 + y(A+1) - y(A)\Big) \bmod 7$$ Все было бы просто, будь сдвиг постоянным ненулевым значением, однако существуют високосные года, из-за которых работать со сдвигом становится сложнее. Рассмотрим правило определения високосного года.
Если значение года не делится на 4, то год не високосный. Остаются года, делящиеся на 4. Среди них високосными являются все те, что делятся на 400. Среди оставшихся все те, что не делятся на 100 - високосные, остальные - нет. Таким образом, последовательность смещений имеет период в 400 лет. Если сумма смещений 400 последовательных лет не делится на 7, то вероятность \(P(y(\xi)=a)\) для всех a одинакова и равна 1/7. Однако, если это не так, т. е. сумма смещений 400 последовательных лет делится на 7, то тогда вероятности обязательно не равны друг другу.
Смещение високосного года равно 2, не високосного — 1. Таким образом можно посчитать смещение 400 последовательных лет:
$$300 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 96 \cdot 2 = 497 = 71 \cdot 7$$
Потрясающе! Вероятности всё-таки различны! Посчитаем вероятность каждого дня недели. 2001 год начинался в понедельник, т. е. \(y(2001)=0\). Рассмотрим года с 2001 по 2400 и, так как ситуация будет повторяться каждые 400 лет, вероятности можно будет обобщить на больший период времени. Посчитать это можно по-разному: вручную, просто перебрав года, посчитать пропуски в високосных годах или же написать программу, которая посчитает все автоматически. Результат будет один и тот же:
день недели#вероятность
понедельник5614%
вторник5814.5%
среда5714.25%
четверг5714.25%
пятница5814.5%
суббота5614%
воскресенье5814.5%
Вероятности отличаются не сильно, но вся соль в том, что эта разница не уменьшается при расширении рассматриваемого временного диапазона. Таким образом, можно сказать, что 2018 год, как год, начинающийся в понедельник более редкий, чем, например, 2019, который начнется во вторник.